da man während des Lehramt Studiums an der Uni Hamburg auch Erziehungswissenschaften studiert, würde mich interessieren, ob es irgendwie möglich wäre, später auch Pädagogik als Unterrichtsfach zu unterrichten?
Pädagogik als Unterrichtsfach ist etwas anderes als die erziehungswissenschaftlichen (und didaktischen) Grundlagen, die alle angehenden Lehrkräfte in Deutschland in ihrem Studium belegen müssen. Die Universität Hamburg bietet Pädagogik als Unterrichtsfach nicht an; das würden Sie z.B. in Bielefeld finden.
Andere Hochschulen (z.B. Münster) bieten Pädagogik als Unterrichtsfach später als Erweiterung während des Masterstudiengangs an (die Universität Hamburg aber nicht).
Ob Sie Pädagogik unterrichten dürfen, ohne es als Unterrichtsfach studiert zu haben, würde ich stark bezweifeln. Das müsste aber letztlich die zuständige Schulbehörde (des Bundeslandes in dem Sie dann arbeiten) klären.
Wenn Sie sicher sind, dass Sie Pädagogik unterrichten möchten, sollten Sie es (im Bachelor oder Master) auch als Unterrichtsfach studieren.
Mit besten Grüßen,
BK
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Universität Hamburg